This is the central halachic ruling: dairy cooked in a clean (iruy ben yomo) meat pot is forbidden, but dairy cooked in a meat pot that has not been used for 24 hours (eino ben yomo) is permitted after the fact (b'dieved) though forbidden initially (l'chatchilah). The Rema adds Ashkenazic stringencies.
דגים וביצה שנתבשלו בקדירה של בשר אם מותר לאכלן עם גבינה. ובו ז' סעיפים: דגים שנתבשלו או שנצלו בקדירה של בשר רחוצה יפה שאין שום שומן דבוק בה מותר לאכלם בכותח משום דהוי נותן טעם בר נותן טעם דהיתירא ואם לא היתה רחוצה יפה אם יש בממש שעל פי הקדירה יותר מאחד בששים בדגים אסור לאכלם בכותח: ביצה שנתבשלה במים בקדירה חולבת מותר לתת אותה בתוך התרנגולת אפילו לכתחלה אבל אם נתבשלה בקדרה עם בשר ואפילו בקליפה אסור לאכלה בכותח: הגה ויש מחמירים בצלייה ובישול לאסור נותן טעם בר נותן טעם (ריב"ן בשם רש"י ובארוך כלל ל"ד הביא המרדכי וא"ז) והמנהג לאסור לכתחילה ובדיעבד מותר בכל ענין (ארוך) ודוקא לאכול עם חלב והבשר עצמו אבל ליתנן בכלי שלהם מותר לכתחלה (באיסור והיתר הארוך) וכן נהגו וכן אם לא נתבשלו או נצלו תחילה רק עלו בכלי של בשר מותר לאכלן עם חלב עצמו וכן להפך (סברת עצמו) וכן אם היה הכלי שנתבשלו או נצלו בו לפגם שלא היה בן יומו נוהגין היתר לכתחילה לאכלן עם המין השני (שם בארוך) וכל זה כשהמאכל אינו דבר חריף אבל אם היה דבר חריף כגון שבשלו דברים חריפים בכלי של בשר אפי' אינו בן יומו או שדכו תבלין במדוך של בשר אם אכלו בחלב אוסר אפילו בדיעבד עד דאיכא ס' נגד הבשר הבלוע בהם (בארוך כלל כ"ד וכן משמע בתשובת הרשב"א סי' תמ"ט וב"י סי' צ"ו בשם סה"ת והגהו' ש"ד סי' ס"ב בשם מהר"ש ואגור בשם מרדכי) ומכל מקום לא מקרא מאכל דבר חריף משום מעט תבלין שבו רק אם כולו הוא דבר חריף ורובו ככולו וע"ל סימן צ"ו:
Permissibility of Eating Fish and Eggs Cooked in a Meat Pot with Cheese It is permitted to eat with dairy foods fish cooked or fried in a vessel used for meat, but well washed, so that no fatty substance adheres, as the absorbed flavor passes, in such a case, through a permitted intermediary. But when the vessel is not well washed and the fish do not present sixty times the amount of the fatty substance adhering to the vessel's wall, it is forbidden to eat them with dairy foods. It is permitted to stuff a poultry, even deliberately, with an egg cooked in a vessel used for milk; but it is forbidden to eat with dairy foods an egg cooked, even with the shell, in a pot containing meat. GLOSS: Some are more stringent in this regard and forbid even grilled or cooked foods, even if the flavor has passed through an intermediary. The custom is to declare this case forbidden deliberately and permitted when faced with a fait accompli. But only for eating them together with milk or meat, whereas it is permitted, even deliberately, to put them in the vessel used for one or the other food. Such is the custom. Similarly, when they were not cooked or grilled but simply placed in a meat vessel, they can be eaten with milk, and vice versa. When the vessel is not from the same day and imparts an altered flavor, it is customary to eat them, deliberately, with the other food. However, on the condition that the foods are not spiced; if, on the contrary, spiced foods are cooked in a meat vessel, even if it is not from the same day, or if peppers are pounded in a mortar used for meat foods, it is forbidden to eat them with milk, even when faced with a fait accompli, unless they present a quantity sixty times greater than the absorbed meat. Food is not called spiced if there is only a little spice; it must be entirely or largely composed of spice. See § 96.