The Shulchan Arukh codifies the laws of kashering utensils for Pesach: the principle of ke-bole'o kach polto (a vessel is purged in the same manner it absorbed), requiring hagalah for vessels used with boiling liquid and libun for those used with fire. This is the governing halachic framework for all dishwasher kashering discussions.
כלים שנשתמש בהם בחמין כפי תשמישן הכשרן אם תשמישן בכלי ראשון כגון כף שמגיסין בו בקדרה צריך להכשירן בכלי ראשון ואם תשמישן בכלי שני הכשרן בכלי שני וכלי שמשתמשים בו בעירוי שמערה מכלי ראשון לא סגי ליה בהכשר דכלי שני אלא צריך לערות עליו מכלי ראשון: הגה כל הכלים שיש בהם סדקים או גומות או חלודה והוא בתוך הכלי ולא יוכל לנקרן ולנקותן אין להגעילן וצריכין ליבון במקום הסדק והחלודה: (רשב"א בתשובה): כל כלי הולכין בו אחר רוב תשמישו הילכך קערות אע"פ שלפעמים משתמשין בהם בכלי ראשון על האש כיון שרוב תשמישן הוא בערוי שמערה עליהם מכלי ראשון כך הוא הכשרן: הגה ויש מחמירין להגעיל הקערות בכלי ראשון (טור בשם אבי העזרי ומרדכי פ' כל שעה ותוס' סוף מסכת ע"ז) וכן הוא המנהג וכן בכל דבר שיש לחוש שמא נשתמש בו בכלי ראשון כגון כפות וכדומה לזה (הגהות מיימוני פ"ה ואגור) ויש מחמירין להגעיל כל כלי שתייה אע"פ שתשמישן בצונן משום שלפעמים משתמשין בהם בחמין (רבינו ירוח') וכן הוא המנהג להגעילן ובדיעבד סגי להו בשטיפ' וקערות גדולות שלא יוכל להכניס תוך כלי ראשון יתן עליהן אבן מלובן ויערה עליהם רותחין מכלי ראשון והוי ככלי ראשון וכן כל כיוצא בזה ויעביר האבן על כל הכלי שאז מגעיל כולו: (מרדכי פרק כל שעה והגהת מיימוני פ"ה ואגור ואיסור והיתר הארוך כלל נ"ח):
Objects that were used with hot food should be kashered according to their use. If they are used with a first container, like a spoon that was used in the pot, they must be kashered in a first container. If they are used in a second container, they must be kashered in a second container. For an object that was used when pouring from a first container, it is not sufficient to kosher it in a second container; rather, it must be poured on from a first container. Rema: All objects that have cracks or crevices or rust inside them such that it is not possible to pick at them and remove them require libun where they have cracks or rust (Rashba in a responsa). For every object, we follow how it is most used. Therefore, dishes, even if they are sometimes used in a first container on the fire, because they are most often used by pouring from a first container, they should be kashered thus. Rema: There are some who are stringent to scour them in a first container (Tur in the name of Avi Haezri and Mordechai Chapter Kol Sha'ah, and Tosafot at the end of Tractate Avoda Zara), and such is the practice. The same is true for everything where there is a concern that it was used in a first container, like spoons and the like (Hagahot Maimoni chapter 5). There are some who are stringent to scour every cup, even though it is used for cold liquids, because sometimes it is used for hot liquids (Rabbenu Yerucham), and it is the practice o scour them, but after the fact, washing them is sufficient. For big pots that cannot be inserted into a first container, one should put a white-hot rock on top of them and pour boiling water from a first container, and it is as if [they are being kashered in] a first container. The rock should be moved around the whole pot, because then it the whole thing is scoured (Mordechai chapter Kol Sha'ah and Hagahot Maimoni chapter 5 and Agur and Issur vHeiter Principle 58).